Loi conditionnelle et densité conditionnelle [Probabilités et statistiques]

Loi conditionnelle et densité conditionnelle

Variables aléatoires discrètes

Supposons que $Z = (X; Y)$ soit un vecteur dans $ℝ^{n} \times ℝ^{m}$ de variables aléatoires discrètes, prenant ses valeurs sur un ensemble fini ou dénombrable

D tel que : $\forall z \in D, P_{z} ({z}) > 0$

Notons respectivement I et J, parties de $ℝ^{n}$ et $ℝ^{m}$ les ensembles des atomes des lois $P_{X}$ et $P_{Y}$ , i.e.

$\forall x \in I : P_{X} ({x}) > 0$ où $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$

et $\forall y \in J : P_{Y} ({y}) > 0$ où $y = (y_{1}, \dots, y_{m})$

Pour tout $x$ dans $I$ , la mesure discrète définie sur $J$ par :

$P_{y}^{(X = x)} ({y}) = P (Y = y / X = x) = \frac{P (Y = y \cap X = x)}{P (X = x)}$

est une probabilité discrète sur $ℝ^{m}$ de support $J$ .

Définition :

Pour tout $x$ dans $I$ , la fonction $P_{Y}^{(X = x)}$ définie sur $J$ et à valeurs dans $[0,1]$ est appelée loi de probabilité de $Y$ conditionnelle à $X = x$ :

On peut, bien sûr, de manière symétrique définir la loi de probabilité de $X$ conditionnelle à $Y = y$

Variables aléatoires continues

Soit $Z = (X; Y)$ une variable aléatoire à valeurs dans $ℝ^{n} \times ℝ^{m}$ de loi absolument continue et de densité $f_{Z}$ . On a vu que les v.a.r. $X$ et $Y$ sont

également absolument continues et possèdent donc des densités $f_{X}$ et $f_{Y}$ .

Posons

$A = {x \in ℝ^{n} : f_{X} (x) > 0}$

Ayant trivialement

$P (X \in ℝ^{n}) = P (X \in A) + P (X \in \bar{A})$

$P (X \in \bar{A}) = \int_{\bar{A}} f^{X} (x_{1}, \dots, x_{n}) {dx}_{1}, \dots, {dx}_{n} = 0$

puisque la densité $f_{X}$ est identiquement nulle sur $\bar{A}$ , on a

$P (X \in A) = P (X \in ℝ^{n}) = 1$

Ainsi, pour tout $x$ dans A ; donc pour $P_{X}$ -presque-tout $x$ dans $ℝ^{n}$ , on peut considérer l'application

$ℝ^{m} \to ℝ^{+}$

$y \to \frac{f_{Z} (x, y)}{f_{X} (x)}$

Cette fonction est positive, mesurable et intégrale sur $ℝ^{m}$ telle que :

$\int_{ℝ^{m}} \frac{f_{Z} (x, y)}{f_{X} (x)} dy = \frac{1}{f_{X} (x)} \int_{ℝ^{m}} f_{Z} (x, y) dy = 1$

C'est donc une densité de probabilité sur $(ℝ^{m}, β_{(ℝ^{m})})$

Définition :

La fonction

$f_{Y}^{(X = x)} : ℝ^{m} \to ℝ^{+}$

$y \to \frac{f_{Z} (x, y)}{f_{X} (x)}$

est une densité de probabilité sur $ℝ^{m}$ et est appelée densité conditionnelle de $Y$ sachant que $X = x$ : On note $P_{Y}^{(X = x)}$ la loi de probabilité associée, appelée loi de $Y$ sachant que $X = x$ :

Bien sûr, on définit de manière tout à fait similaire la loi de $X$ sachant que $Y = y$ .

Il résulte de cette définition que, pour -presque-tout $x$ de $ℝ^{n}$ , on a :

$f_{Z} (x, y) = f_{y}^{(X = x)} (y) f_{X} (x)$

Ainsi, si on connaît la densité marginale $f_{X}$ et la densité conditionnelle $f_{Y}^{(X = x)}$

on a immédiatement l'expression de la densité conjointe $f_{Z} (x, y)$ .

Nous attirons l'attention du lecteur sur le fait que bien que l'on dise densité de $Y$ sachant que $X = x$ ou loi de $Y$ sachant que $X = x$ , il ne s'agit pas d'une probabilité conditionnelle à l'événement ${X = x}$ car celui-ci est de probabilité nulle. Cela n'aurait pas de sens.

vecteurs aléatoires