Probabilités et statistiques

Dans le bois de Vincennes, on modélise le diamètre d'un arbre par une variable

aléatoire$X$ , et sa hauteur par une autre variable aléatoire $Y$ . La loi jointe de $X$ et $Y$ est donnée par la densité :

$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{4}(x+y){\mathrm{e}}^{-y}$ pour

1. Donner la densité´e marginale de $X$.

2. $X$  et $Y$sont-elles indépendantes ?

3. Calculer$E(x)$.

4. L’age d'un arbre est donné´e par$W=12\mathit{XY}$ . Calculer$E(W)$ .

La distribution conjointe de deux variables aléatoires discrètes se présente comme suit :

1. déterminer les distributions marginales, puis $E(X)$et$E(Y)$.

2. Déterminer $E(X,Y)$ et la covariance de X$X$ et $Y$ .

3. les deux variables sont elles indépendantes ?