Fonction de répartition

Définition

On appelle fonction de répartition (conjointe) du vecteur aléatoire X = ( X 1 , ⋯ , X n ) X=( X_1 , dotsaxis ,X_n ) l'application F X F_X définie sur ℝ n setR ^n et à valeurs dans [ 0,1 ] [0,1] par :

par :

F X ( x ) = P X ( ] − ∞ , x 1 ] × … × ] − ∞ , x n ] ) = P X ( ∩ n ( i = 1 ) { X ≤ x i } ) F_X( x)=P_X\( \]- %infinite , x_1 \] times dotslow times \]- %infinite , x_n \]\)=P_X\( intersection^ (i=1)_n lbrace X <=x_i rbrace \)

où x = ( x 1 , ⋯ , x n ) x=( x_1 , dotsaxis ,x_n ) est un vecteur de ℝ n setR ^n .

Proposition

On a :

lim ∀ i , x i → − ∞ F x ( x ) = 0 lim from{ forall i ,x_i rightarrow - infinity }F_x( x )=0 et lim ∀ i , x i → + ∞ F x ( x ) = 1 lim from{ forall i ,x_i rightarrow + infinity }F_x( x )=1